【 難易度：★★★★☆ 】
1993年の算数オリンピックファイナルの問題です。
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#中学受験 #算数 #図形
12 Comments
等脚台形であることを証明してみました。
「四角形ABCDに対して、辺ADと平行な直線を、点Bから1本、点Cから1本引いた時、その2線が重なれば平行」という道筋です。
点Bから引いた平行線に対して、点Aから垂線を下ろし、交点をFとして、三角形ABFを作ります。
同様に、点Cから引いた平行線に対して、点Dから垂線を下ろし、交点をGとして、三角形DBGを作ります。
この時、三角形ABFと三角形DBGは合同。
なぜならば、どちらも20度、70度、90度の直角三角形で、かつ斜辺が等しい(AB=DC)。
よって、対応する辺は等しいので、AF=DG。
このことから、2本の平行線は、どちらも辺ADから等しい距離にあります。
したがって、点Bから引いた平行線と、点Cから引いた平行線は同一直線。
ゆえに、ADとBCは平行。
・底辺と2斜辺のなす角が同じ・2斜辺の長さが同じ という条件から上底下底が平行であることを導く宿題
短辺の両端から反対側の斜辺と平行線を引くと底角が全て同じ角度なので
底辺を共有する(同一直線上にある)全く同じ二等辺三角形が2つできる
底辺共通で高さが同じ2つの三角形の頂点を繋いだ上底は下底と平行になる
でおk?
BD上にAC＝APとなる点‘Pをとる。
△ACPは、頂角40°二等辺三角形。
70°＝∠BAP＝∠DCA、AP＝AC、AB＝CD。
△BAP≡△DCA。よって、∠ABP＝∠CDA。
お疲れさまでした
等脚台形の話が白熱してましたね
ちなみに自分は等脚台形の作り方が皆と違っていて、ABと平行な線をCから右上に書きました（ABをCにスライドさせた形）
右上をA’としAとDを結ぶと、△A'CDが二等辺三角形であり、角度を書き込んでいくと下の左右が７０度、上の左右が１１０度ずつであるため等脚台形だとわかります
CDとAA'が平行であることも、AとA'からCDに垂線を降ろせばすべての角度が一致＋一辺の長さが同じで合同な三角形が出来るため高さが等しい＝それを結んだAA'は平行だと証明できるかと思います
あとは対角線の長さが等しいという知識を使うと左右対称性を利用して４０度と解けました
が、この問題を解く過程で出来た等脚台形（しかも二等辺三角形もできているから判明した）ですし、単品の証明方法は思いついてないです
解いたあとも等脚台形の特徴は算数範囲だったのかずっと疑問だったのでスッキリしました
大小問わず二等辺三角形の特性を用いないで証明する方法なんてあるんですかね…これ
ACとDBに補助線、ABとDCは同じ長さADは共通角度も同じなので三角形ABDと三角形ACDは合同なのでADに対する高さも同じなのでADとBCは平行である。
四角形ACED、∠C=∠E=110°、AC＝DE
△ACEと△DECが合同からAE=DC
△ADCと△DAEが合同かつ、四角形の内角の和から∠A=∠D=70°
錯角が等しくなるのでCEとADは平行、よって四角形ACEDは等脚台形
…と考えてはみました。
合同は算数でいう拡大・縮小と見たとしても合同条件が算数範囲かあやしいですし、そもそも算数の範囲で、算数の範囲外の「証明」をすること自体にモヤモヤしますがｗ
算数オリンピックの問題を解くのに使える知識って、決まったものがあるんですかね。
「算数オリンピック学習指導要領」（仮）みたいなものww
お疲れ様です。
補助線１本だけで解きました。
ＣとＤの間に、Ｂからの長さがＡＢ・ＣＤと同じになる様な点Ｅを置きます。
△ＡＢＥは二等辺三角形になり、∠ＡＥＢは７０°で、△ＡＣＥも４０°７０°７０°の二等辺三角形である事が分かります。
ＢＣとＤＥが同じ長さという事も分かるので、△ＡＢＣと△ＡＤＥは２辺とその間の角が同じなので合同。
よって∠？は４０°と出しました。
△ABCの角Bと角Cを回転させると、△ACDは二等辺三角形になるので、角Cは角Aと同じ40度になります。
これだけで良いのでは、、、
色々考えてみましたがどうも小学校で習う平行には「一つの線に対して垂直に書かれた二つの線は平行である」という考え方しかなく
その情報がない2つの線分を線分同士の距離の関係から平行であるという順序では説明ができないようでした
左図中であればEBとHCがEHに対してそれぞれ垂直なのでこの2つの線分は平行である、といえるのですがEHとBCに関しては条件をうまく当てはめる方法が思いつきませんでした
大切な見落としや考え方の足りなさもあると思いますが、問題を解く段階で平行（台形であること）は示せないのではないかと考えました
等脚台形？って初めて知ったけど、内側に対角線とっても同じ形の図形になるから頂点を結べば平行と言えるかなと思いました